[2017년 백신고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim_n->inf {an^2 +bn +1} over{3n+1} =2]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [3.5점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: lim_n->in (3n+1)a_n =2]일 때, [eqn: lim_n->inf (4n-1)a_n]의 값은? [3.5점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 7over3]	③ [eqn: 8over3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 10over3]

함수 [eqn: f(x)=(2x+1)(x^2 -x-1)]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: -2]에서 [eqn: 2]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x=a]에서의 미분계수가 서로 같을 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3.9점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

함수 [eqn: f(x) = left{ { sqrt { x^2 +3}-2}overx-1``(x!=1) #`````````````````````a``````````````````````(x=1)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [3.9점]

⑤

① [eqn: - 1over2]	② [eqn: - 1over3]	③ [eqn: 1over6]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 세 점 [eqn: (-1,```0)], [eqn: (0,```4)], [eqn: (5,```0)]을 지난다. 수열 [eqn: left{ LEFT ( f(x) over2 -1 RIGHT )^n-1 right}]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [4.1점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y= 1over3 x^3 -3x^2 -4x +8] 위의 두 점 [eqn: (a,```b)], [eqn: (c,```d)]에서 각각 그은 두 접선의 기울기가 모두 [eqn: 0]일 때, [eqn: ac]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: c]는 상수이다.) [4.1점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은? [4.1점]

⑤

① [eqn: lim_x->-1- f(x) + lim_x->1+ f(x) =5]

② [eqn: lim_x->-1+ f(x)]는 존재하지 않는다.

③ 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

④ 함수 [eqn: y=f(x)]는 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 연속이다.

⑤ [eqn: -1<a<1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim_x->a f(x)]가 존재한다.

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대해 옳은 것을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

①

ㄱ. [eqn: lim_n->inf a_n b_n = alpha]이면 [eqn: lim_n->inf a_n] 또는 [eqn: lim_n->inf b_n]이
수렴한다. (단, [eqn: alpha]는 상수이다.)

ㄴ. 두 급수 [eqn: sum_n=1^inf (2a_n +b_n )], [eqn: sum_n=1^inf (a_n - 2b_n )]이 모두
수렴하면 [eqn: sum_n=1^inf a_n]과 [eqn: sum_n=1^inf b_n]이 수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: left{ |a_n +b_n |right}], [eqn: left{ |a_n -b_n |right}]이 모두 수렴하면
두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}]도 모두 수렴한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) =a[x]^2 -[x]+1]이 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4.3점]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over3]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over3]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 [eqn: r `(r>1)]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: lim_n->inf a_n over{a_1 +a_2 +`cdots`+a_n+1 } = 1over4]일 때, [eqn: r]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {3x ^{n} -2 ^{2n}} over {2x ^{n} +5 ^{n}}]을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: sum_k=0^20 f(k)]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 43over2]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 45over2]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 47over2]

그림과 같이 무리함수 [eqn: y= sqrt { 2x}]의 그래프 위에 점 [eqn: rmA(1,``` sqrt { 2})]와 동점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2]라 하고 사각형 [eqn: rmAA_1 P_1 P]의 넓이를 [eqn: S_1], 사각형 [eqn: rmA A_2 P_2 P]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]에 한없이 가까워질 때, [eqn: S_1 over S_2]의 극한값은? (단, [eqn: rmP_1]은 [eqn: rmA_1]의 오른쪽에 위치한다.) [4.6점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

구간 [eqn: (-inf,```inf)]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: [-1,```3)]에서
[eqn: f(x)= {cases{-3x+a&```(-1 LEQ x <2) #2x^2 +bx&```(2 le x <3)}}]로 정의되고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+4)]를 만족시킨다. 이때, [eqn: f(2017)]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

다음 함수 중 [eqn: x=1]에서 미분가능하지 않은 것의 개수는? [4.3점]

②

∘ [eqn: f(x) = |`x^2 +x` |]	∘ [eqn: f(x)=(x-1)^2]

∘ [eqn: f(x) = 1over x-1]	∘ [eqn: f(x)=4]

∘ [eqn: f(x) =x-1]	∘ [eqn: f(x)= |`x^2 -1 ` |]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 두 직선 [eqn: y=3x]와 [eqn: y=x]가 있다. 직선 [eqn: y=3x] 위의 점 [eqn: rmA_1 (1,```3)]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: rmB_1], [eqn: rmB_1]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y=3x]와 만나는 점을 [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_2]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: rmB_2]라 하자. 이와 같은 방법으로 점 [eqn: rmA_3], [eqn: rmB_3], [eqn: cdots],
[eqn: {rmA}_n], [eqn: {rmB}_n], [eqn: cdots]을 정한다. [eqn: a_1 = bar{rmA_1 B_1}], [eqn: a_2 = bar{rmB_1 A_2], [eqn: a_3 = bar{rmA_2 B_2],
[eqn: a_4 = bar{rmB_2 A_3] [eqn: cdots]라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf 1over a_n]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =2], [eqn: 2(a_1 +a_2 +`cdots`+a_n ) =(n+1)a_n]
([eqn: n=1,```2,```3,`cdots])일 때, [eqn: sum_n=1^inf 1 over{a_n a_n+1]의 값은? [5.0점]

①

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: lim_x->0 (f CIRC g)(x) +lim_x->0+ (g CIRC g)(x)]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선의 기울기는? [4.8점]

∘ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

∘ [eqn: lim_x->-1 f(x) over{x^2 -1} =3]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4sqrt { 3}]인 정삼각형에 내접하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 원과 삼각형의 두 변과 접하는 원 [eqn: 3]개를 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 그림 [eqn: R_2]에서 새로 그려진 원과 삼각형의 두 변이 접하는 원 [eqn: 3]개를 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 그려진 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은? [5.0점]

②

① [eqn: 9OVER2 pi]	② [eqn: 11over2 pi]	③ [eqn: 13over2 pi]

④ [eqn: 15 over 2 pi]	⑤ [eqn: 17 over 2 pi]

서술형

함수 [eqn: f(x)=2 `|`x |-x]에 대하여 연속성과 미분가능성의 정의를 이용하여, [eqn: x=0]에서의 연속성과 미분가능성을 조사하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

연속, 미분불가능

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여
[eqn: a_n = 1over sqrt { n^2 +1}+ 1 over sqrt { n^2 +2} + `cdots`+ 1 over sqrt { n^2 +n}]
일 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {sqrt {n ^{2} +n}} LEQ {1} over {sqrt {n ^{2} +k}} < {1} over {n}]에서 [eqn: {n} over {sqrt {n ^{2} +n}} <a _{n} <1]

함수 [eqn: f(x) =sum_n=1^inf x^2 over{(1+x^2 )^n-1]이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총7.0점]

(1) [eqn: 0]

[eqn: x!=0]일 때 [eqn: f(x)= {x ^{2}} over {1- {1} over {1+x ^{2}}} =1+x ^{2}]이다.

[eqn: x=0]일 때 [eqn: f(x)=0]이다.

(1) 불연속이 되는 [eqn: x]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[6.0점]

(2) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그리시오. [1.0점]

[2017년 백신고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com